Équation - Corrigé

Énoncé

On note `(E)` l'équation :  `\frac{1}{z^2}+z-2 =0` , d'inconnue `z \in \mathbb{C}` .  Résoudre `(E)` dans `\mathbb{C}` .

Solution

L'équation est définie pour \(z \neq 0\) .

On a, pour tout \(z \in \mathbb{C}^\ast\) , \(\frac{1}{z^2}+z-2 =0 \iff 1+z^3 -2z^2=0 \iff z^3-2z^2+1=0\) .
Et  \(1^3-2\times 1^2+1=0\) , donc  \(1\) est solution de l'équation \(z^3-2z^2+1=0\) .

On cherche \(a,b\) et \(c\) des réels tels que \(z^3-2z+1=(z-1)(az^2+bz+c)\) .
On trouve  \(z^3-2z^2+1=(z-1)(z^2 -z -1)\) .

Finalement, \(S = \left\lbrace 1; \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} ; \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right\rbrace\) .